Секция математика неевклидова геометрия

Содержание
1. Основные понятия в геометрии Евклида и в
Если две прямые a и b
3. Из истории неевклидовой геометрии
4. Геометрия кривых поверхностей.
Подобный материал:


Министерство образования Ставропольского края


Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя


общеобразовательная школа №5 имени А.Н.Дубинного с углубленным

изучением отдельных предметов


Секция математика


НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ


Научная работа


Выполнила: Исаева Аиша

ученицы 9 класса А

Руководитель:

Кравченко Анна Николаевна учитель высшей категории

г. Пятигорск 2007 год




Оглавление


Введение………………………………………….

  1. Основные понятия в геометрии Евклида и

в современной геометрии………………………….

  1. Биография Н.И.Лобачевского……………………

  2. Из истории неевклидовой геометрии…………..

  3. Геометрия кривых поверхностей………………..

Заключение………………………………………..

Список использованной литературы…………….

Введение

Геометрия – это одна из древнейших наук. Исследовать различные пространственные формы издавна побуждало людей их практическая деятельность. Древнегреческий ученый Эвдем Родосский в IV веке до нашей эры писал: «Геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавшей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из потребности человека».

Многие первоначальные геометрические сведения получили также шумеро-вавилонские, китайские и другие ученые древнейших времен. Устанавливались они сначала только опытным путем, без логических доказательств.

Как наука, геометрия впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны.

В III веке до нашей эры греческий ученый Евклид привел в систему известные ему геометрические сведения в большом сочинении «Начала». Эта книга более двух тысяч лет служила учебником геометрии во всем мире.

Кроме геометрии, которую изучают в школе (Геометрии Евклида или употребительной геометрии), существуют другие геометрии. В своей работе я хочу рассказать о геометрии Лобачевского.

Данное исследование состоит из 4 основных глав. В них подробно рассказывается о биографии Лобачевского и его научной деятельности в области геометрии. В введении и заключении обосновывается цель и структура работы и выводятся основные итоги по выбранной теме. Завершает работу список использованной литературы.


^ 1. Основные понятия в геометрии Евклида и в

современной геометрии

О жизни замечательного древнегреческого учёного Евклида известно немного. Однако оставленный им труд «Начала» бесспорно, является величественным памятником его деятельности. Евклид собрал воедино всё то, что сделали его предшественники в области геометрии и «словесной алгебры». Но не только в этом его заслуга. Он творчески переработал собран­ное, внёс много своего, нового, оригинально­го. И создал труд настолько замечательный, что, как своего рода математическая «Илиада» или «Одиссея», его «Начала» прошли через ты­сячелетия. В ряде стран Европы вплоть до XX в геометрию в школах преподавали по учебникам, в которые были включены евклидовы начала переведённые и литературно обработанные.1

Однако не всё написанное Евклидом удовлетворяло живших после него математиков, Конечно, великолепной была его попытка дать аксиоматическое изложение геометрии, т.е. сформулировать небольшое количество простых предложений (аксиом), из которых логически выводятся все теоремы геометрии. Но предложенный Евклидом список аксиом сразу же подвергся критике. Например, одна из них, утверждавшая, что «все прямые углы равны между собой», оказалась просто ненужной. Её удалось доказать как теорему с помощью ос­тальных евклидовых аксиом.

Но одна из них, так называемый пятый по­стулат Евклида, вызывала особые нарекания математиков. Именно эта аксиома, как пока­зало историческое развитие науки, содержала в себе зародыш другой, неевклидовой гео­метрии.

Вот о чём говорится в пятом постулате:

^ Если две прямые a и b образуют при пересечении с третьей прямой внут­ренние односторонние углы А и В, сумма величин которых меньше двух прямых углов (т. е. меньше 180°), то эти две прямые обязатель­но пересекаются, причём именно с той стороны от третьей прямой, по которую расположены углы А и В (составляющие вместе менее 180°).2

Данное утверждение заметно сложнее осталь­ных аксиом. Потому-то в современных учеб­никах его обычно заменяют на равносильную аксиому параллельности: к данной прямой через данную вне её точку можно провести не более одной параллельной прямой. Но дело не только в сложности формулировки. Очень не­легко убедить критически настроенного чело­века в том, что это утверждение достаточно обосновано.

Определения, изложенные в «Началах» Евклида, не удовлетворяют требованиям современной науки. Вот некоторые из 23 определений, которыми начинается первая книга «Начал».

  1. Точка есть то, что не имеет частей (такое аналитическое определение точки, по- видимому, заимствовано Евклидом у предшественников и восходит к Демокриту).

  2. Линия есть длина без ширины.

  3. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.

  4. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

  5. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым, на ней лежащим.

  6. Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных в одной плоскости.

Такие определения нельзя считать логически конкретными. Во-первых, в

этих определениях употребляются такие понятия, как часть, длина, ширина, граница и т.д., которые сами должны быть определены. Во-вторых, идея основных понятий (в современном смысле) у Евклида вообще отсутствует. В-третьих, некоторые его определения туманны и непонятны. Вообще же определения Евклида являются лишь описанием геометрических образов, и, как правило, для доказательства теорем он ими не пользовался.

При дедуктивном построении геометрии, как и любой другой науки, следует исходить не только из основных неопределенных понятий, но также из некоторых немногих и простых утверждений, то есть недоказуемых предложений, называемых иногда постулатами (требованиями), чаще же аксиомами (аксиома – греческое слово, означающее «бесспорное положение», а также «почитаемое»), с тем, чтобы, основываясь на них, можно было строго логически обосновать, то есть доказать все другие предложения, называемые уже теоремами (Этот термин был введен Аристотелем, его употреблял не Евклид, а его комментаторы. Первоначальный смысл этого греческого слова был «рассматриваемое»).

У Евклида постулаты и аксиомы, которые он не отождествлял (у него постулаты носят чисто геометрический характер) следуют за выше названными определениями. Вот они:

Постулаты.

  1. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

  2. И, чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.

  3. И, чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.

  4. И, чтобы все прямые углы были равны.

  5. И, чтобы если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов оказалась меньше двух прямых, то эти прямые при достаточном их продолжении пересекались бы и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Аксиомы.

  1. Равные порознь третьему равны между собой.

  2. И если к равным прибавить равные, то получим равные.

  3. И если от равных отнимем равные, то получим равные.

  4. И если к неравным прибавим равные, то получим не равные.

  5. И если удвоим равные, то получим равные.

  6. И половины равных, равны между собой.

  7. И совмещающиеся равны.

  8. И целое больше части.

  9. И две прямые не могут заключить пространства.

Важнейшим недостатком системы евклидовых аксиом, включая и его постулаты, является ее неполнота, то есть недостаточность их для строго логического построения геометрии, при котором каждое предложение, если оно не фигурирует в списке аксиом, должно быть логически выведено из последних. Поэтому Евклид при доказательстве теорем не всегда основывался на аксиомах, а прибегал к интуиции, к наглядности и «чувственным» восприятиям. Например, понятию «между» он приписывал чисто наглядный характер; он молчаливо предполагал, что прямая, проходящая через внутреннюю точку окружности, непременно должна пересечь ее в двух точках. При этом он основывался только на наглядности, а не на логике; доказательства этого факта он нигде не дал, и дать не мог, так как у него отсутствовали аксиомы непрерывности. Нет у него и некоторых других аксиом, без которых строго логическое доказательство теорем невозможно.

Критика евклидовского обоснования геометрии, продолжавшаяся на протяжении нескольких веков и ставшая особенно острой в 19 столетии, привела к попыткам нового дедуктивного построения геометрии, отвечающего современным требованиям науки.

2. Биография Н.И.Лобачевского

Николай Иванович Лобачевский родился 1 декабря 1792 г. в Нижнем Новгороде в бедной семье. Отец его — кол­лежский регистратор Иван Мак­симович Лобачевский — был уездным землемером, мать — Прасковья Александровна — происходила из нижегородских мещан. В семье Лобачевских было три сына — Александр, Николай и Алексей. Семья рано лишилась кормильца. Когда мальчику было девять лет, семья переехала в Казань. Здесь Николая определили в гимназию «на казённый счёт». Курс был четырехлетним. Кроме первоначальных и общих предмет здесь преподавались языки — латинский, французский, немец­кий и татарский; из философских наук — логика и практически философия; из физико-математических наук — геометрия, три­гонометрия, механика, гидравлика, физика, химия, натуральна)! история (геология), землеведение и гражданская архитектура; из юридических — практическое законоискусство; из военных - артиллерия, фортификация, тактика; и, наконец, искусства рисование, музыка, фехтование и танцы. Усвоение этой програм­мы требовало очень большого напряжения, редко кому удава­лось с ней справиться. Большинство учащихся оставались в одном классе по два, иногда по три года.

Несмотря на трудную программу, учился Николай Лобачев­ский очень легко и хорошо. В гимназических ведомостях он аттестован «весьма прилежным и благонравным, занимающимся с особым прилежанием математикой и латинским языком».

В январе 1807 года Николай Лобачевский окончил гимназию» поступил в Казанский университет, основанный в ноябре 1804 года высочайшим повелением императора Александра I. Устав вновь открытого университета не отличался от типового устава российских университетов того времени. Он был построен на основах широкой автономии: все должностные лица университета, начиная с преподавателя и кончая ректором, должны были избираться советом университета, университет имел свой суд и даже свою полицию; он не только пользовался правом бесцензур­ного печатания своих изданий, но его редакционный комитет служил органом, разрешавшим к печати все научные произведе­ния, публиковавшиеся в Казани, кем бы они ни были написаны. Первоначально университету было предоставлено здание, отстроенное для губернаторского дома, и один из корпусов гимназии. В первые три года занятия в университете велись силами преподавателей гимназии, а затем на работу в универси­тет были приглашены профессора из-за границы. Разумеется, эти профессора не знали ни слова по-русски, так что преподава­ние велось на немецком и французском языках

В 1808 году для преподавания математических наук в Казан­ский университет прибыл профессор Бартельс (Мартин Федоро­вич, как его звали в России), сыгравший важную роль в математическом образовании Лобачевского. В свое время Бар­тельс был помощником учителя в школе, где учился великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс. Затем Бартельс учился и преподавал в Геттингенском университете, где вновь встретился с Гауссом и не прерывал с ним связи до конца жизни. По-видимому, Гаусс рекомендовал Бартельса секретарю Петер­бургской Академии наук Фуссу, который занимался подбором профессоров для вновь созданного университета. Бартельс был хорошо образованным ученым, прекрасным педагогом и чрезвы­чайно добросовестным человеком. Он был одним из немногих иностранных профессоров, вложивших в работу всю свою энер­гию, все внимание и всю любовь к делу. В Казани он пробыл двенадцать лет и положил начало казанской математической школе. Крупным математиком он не был, однако писал хорошие учебники и умел привить молодым людям тягу к научному творчеству.

Студенты университета изучали в то время следующие дис­циплины: философию, историю, географию, всеобщую и россий­скую статистику, греческий и латинский языки, российскую словесность, высшую арифметику, алгебру, геометрию, коничес­кие сечения, дифференциальное, интегральное и вариационное исчисления, аналитическую геометрию, механику, аэростатику, гидростатику, гидравлику, физику, химию, естественную исто­рию, технологию, право. Во всех дисциплинах Лобачевский показывал отличные успехи. Но особенно углубленно он зани­мался математикой. В своем отчете попечителю Казанского учебного округа профессор Бартельс писал: «Студенты Симонов и Лобачевский, особливо же последний, оказали столько успе­хов, что они даже во всяком европейском университете были бы отличными, и я льщусь надеждой, что если они продолжать будут упражняться в усовершенствовании своем, то займут значащие места в математическом кругу».

3 августа 1811 года Лобачевский окончил университет и был утвержден в звании магистра. По уставу университета магистры должны были, с одной стороны, готовиться к научной и профес­сорской деятельности, а с другой — быть помощниками профес­соров. Одновременно с Лобачевским звания магистра был удос­тоен и его однокурсник И. М. Симонов. Это был человек, обладав­ший большими дарованиями, преимущественно занимавшийся астрономией. С этого времени они в течение свыше 35 лет вели в университете без видимых разногласий совместную работу, сменяя друг друга на кафедрах и административных должнос­тях.

Математике оба молодых магистра учились у Бартельса. В качестве основных сочинений, над которыми должен был рабо­тать Лобачевский, Бартельс выбрал пятитомную «Небесную механику» Лагранжа и «Арифметические исследования» Гаусса. В 1813 году Лобачевский выполняет свою первую самостоятель­ную научную работу: находит разложение многочлена деления круг на неприводимые множители для некоторых значений показате­ля п.

26 марта 1814 года распоряжением министра народного просвещения Лобачевский был возведен в звание адъюнкта физико-математических наук (по современной терминологии - кандидата); таким образом, в возрасте 21 года Лобачевский официально становится преподавателем университета.1 Он ведет активнейшую преподавательскую работу, читает многочислен­ные курсы, поражающие широтой диапазона: элементарная математика, все без исключения разделы высшей математики, механика, опытная и теоретическая физика, теоретическая и наблюдательная астрономия. К началу двадцатых годов им написаны два учебника «Алгебра. Исчисление конечных» и «Геометрия» (опубликованные значительно позже), в рукопис­ном виде распространявшиеся среди студентов. И все эти годы Лобачевский углубленно занимается теорией параллельных.

В возрасте 23 лет, его выбрали экстраординарным профессором (со­ответствует должности доцента). В 1822 г. Ло­бачевский стал ординарным профессором.

Как видим, молодой профессор читал лекции не только по различным областям математики, но и по физике и астрономии. Он был очень прилеж­ным лектором.

Однажды в Казанский университет пришла инструкция, утверждённая императором Алек­сандром I: «Профессор теоретической и опыт­ной физики обязан во всё протяжение курса своего указывать на премудрость Божию и огра­ниченность наших чувств и орудий для позна­ния непрестанно окружающих нас чудес». Вряд ли Лобачевский, который читал в то время курс «Теоретическая и практическая физика», следо­вал этому предписанию.

К тому времени он уже три года, начиная с 1817-го, работал над одной из труднейших про­блем — доказательством пятого постулата Ев­клида о параллельных прямых. На лекциях он расска­зывал студентам о попытках доказать, что через точку вне прямой можно провести единствен­ную прямую, параллельную ей. Многие извест­ные математики исследовали проблему пятого постулата, но во все времена немало было и амбициозных невежд, которые хватались за эту задачу только потому, что её формулировка была доступна каждому. Лобачевский придавал ей особое значение. Он писал, что задача о па­раллельных представляет собой «трудность, до сих пор непобедимую, но между тем заключа­ющую в себе истины ощутительные, вне всяко­го сомнения, и столь важные для целей науки, что никак не могут быть обойдены».

Вначале Лобачевский поступал, как и боль­шинство других математиков, т. е. искал дока­зательство от противного. Таким путём он вывел множество утверждений, некоторые из них выглядели, мягко говоря, странно, но ис­комого противоречия так и не получилось. В 1823 г. он пришёл к мысли о недоказуемос­ти пятого постулата и о возможности новой геометрии. Более того, Лобачевский понял, что эта «воображаемая» геометрия, несмотря на непривычность её содержания, в принципе не может быть опровергнута нашим опытом.

В феврале 1826 г., когда Лобачевский напи­сал первую работу об открытии новой гео­метрии и передал её нескольким профессорам университета, ответа от коллег не последова­ло. А сама работа вскоре была утеряна.

В 1829 г. журнал «Казанский вестник» опуб­ликовал сочинение Лобачевского о неевклидо­вой геометрии. В отзыве на него известный ма­тематик академик М. В. Остроградский писал: «Автор, по-видимому, задался целью писать та­ким образом, чтобы его нельзя было понять. Он достиг своей цели: большая часть книги осталась столь же неизвестной для меня, как если бы я никогда не видел её».

Гений всегда опережает своё время. Через 30—40 лет появятся работы, в которых будет доказано, что геометрия Лобачевского столь же правомерна, как и геометрия Евклида, и её открытие — важный шаг на пути к пониманию окружающего нас мира. Но в конце 20-х гг. XIX в. Лобачевский оказался в очень сложном положении. Его не понимали и даже осуждали лучшие математики того времени, коллеги давали насмешливые, а порой оскорбительные отзывы о его работе. Это было настоящее ис­пытание характера учёного. Лобачевский с честью его выдержал. За первой большой статьёй последовали новые работы на ту же тему. В этом он решительно отличался от дру­гого первооткрывателя неевклидовой гео­метрии — Гаусса.

Уже в 25—30-летнем возрасте Лобачевский заведовал обсерваторией, был деканом мате­матического факультета. Многие годы он воз­главлял университетскую библиотеку. По­нимая, какую важную роль в образовании играет библиотека, Лобачевский ездил в Пе­тербург, чтобы лично отбирать и закупать кни­ги, Как председатель строительного комитета университета, он руководил строительством новых учебных корпусов.1 В 1827 г. Лобачевского избрали ректором Казанского университета. Впоследствии он пе­реизбирался на эту должность шесть раз и оставался ректором в течение 20 лет. На этом посту Лобачевский энергично и компетентно занимался буквально всем: учебной и научной работой, финансами, строительством. Особенно трудно пришлось во время холерной эпи­демии 1835 г. и упомянутого пожара 1842 г.

В 1828 г. по случаю первой годовщины своего ректорства Лобачевский произнёс ставшую потом знаменитой речь «О важнейших пред­метах воспитания». В ней он, в частности, ска­зал: «Примеры научают лучше, нежели толко­вания и книги». Жизнь Николая Ивановича Лобачевского сама является замечательным примером служения отечеству и науке. Его идеи были настолько непривычны, глубоки и новы, он настолько обогнал свою эпоху, что современники не смогли понять его и правильно оценить. Встретив непонимание и даже издевательство, Лобачевский не прекратил своих исследований. После работы 1829-1830 гг. "О началах геометрии" Лобачевский печатает в "Ученых записках" (в 1835 г.) "Воображаемую геометрию", в 1836 г. "Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам". С 1835 по 1838 гг. он публикует свою наиболее обширную работу "Новые начала геометрии с полной теорией параллельных". Наконец, в 1840г. выходят на немецком языке "Геометрические исследования по теории параллельных", где содержится предельно ясное и лаконичное изложение его основных идей. Ни одного положительного отклика не получает Лобачевский, кроме единственного высказывания профессора механики Казанского университета П. И. Котельникова, который в актовой речи в 1842 г. отметил, что изумительный труд Лобачевского, построение новой геометрии на предположении, что сумма углов треугольника меньше двух прямых, рано или поздно найдет своих ценителей. Многолетние плодотворные труды Лобачевского не могли получить положительной оценки у правительства Николая I.

В 1840 году Лобачевский пишет на немецком языке небольшую книгу, содержащую короткое, возможно, наиболее доступное изложение своей геометрии «Geometrische Untersuchurgen zur Theorie der Parallellinien» (Геометрические исследования по теории параллельных ли­ний).1 Она также получила неблагоприятный отзыв, но именно эта книга обратила на себя внимание Гаусса. Судя по всему, он был первым человеком, до конца осознавшим значение работ Лобачевского. Известно, что после прочтения «Исследований» шестидесятитрехлетний Гаусс два года изучал русский язык и освоил его в такой мере, что смог свободно прочесть остальные труды Лобачевского. Более того, по предложению Гаусса 23 ноября 1842 года Лобачевский был избран членом-корреспондентом Геттингенского королевского научного общества, уже тогда имевшего значение академии наук. Это было единственным научным признанием, которое Лобачевский получил при своей жизни. Однако в печати Гаусс о своем отношении к работам Лобачевского никогда не высказывался, так что диплом Геттингенского общества оставался лишь формальным знаком внимания

В письмах к своему другу Шумахеру Гаусс говорил о великом значении геометрии Лобачевского, но эта переписка издана лишь в 60-х годах, после смерти Лобачевского, и только тогда на его работы обратили внимание математики Западной Европы.

Вместе со своим учеником М.В. Ляпуновым участвовал в экспедиции в Пензу для наблюдения полного солнечного затмения 8 июля 1842. Подробно описал свои наблюдения и размышления по поводу загадочных в то время явлений протуберанцев и солнечной короны. Занимался также усовершенствованием методов обработки астрономических наблюдений.

В 1846 г. власти уволили Лобачевского с должности ректора.

В январе 1852 г. умер его старший сын. Материальное положение семьи серьёзно ухудшилось. Незадолго до смерти Ни­колай Иванович потерял зрение. Последнюю работу «Пангеометрия» (греческая приставка «пан-» означает «всё», «всеобщий»), приурочен­ную к 50-летию Казанского университета, он продиктовал своим студентам будучи уже со­всем слепым.

24 (12) февраля 1856 г. кончилась жизнь великого ученого, целиком отданная русской науке и Казанскому университету.

К высоким умственным качествам Лобачевского присоединялись не менее высокие качества души: доброе сердце, отзывчивость на все честные стремления, горячая любовь и отеческое отношение к университетскому юношеству и ко всем талантливым молодым людям. О чем говорит учреждение международной премии им. Н. И. Лобачевского за выдающиеся работы по геометрии, преимущественно – неевклидовой.

^ 3. Из истории неевклидовой геометрии

23 февраля 1826 года на заседании физико-математического отделения Императорского Казанского университета был про­читан доклад под названием «Сжатое изложение начал геомет­рии со строгим доказательством теоремы о параллельных ли­ниях». Эта дата рассматривается как день рождения неевкли­довой геометрии и является гранью двух эпох. Предшествую­щие двадцать пять веков были эпохой создания классической геометрии. Принципы, лежащие в ее основе, и вместе с ними и вся геометрия считались незыблемыми, не допускающими ни­каких изменений. Но в этот февральский день родилась новая геометрия, неизмеримо расширившая человеческие представле­ния о пространстве и форме, радикально изменившая устояв­шиеся взгляды на всю математику и окружающий мир. Творцу этой новой геометрии было тог­да 33 года. Его звали Николай Иванович Лобачевский.

Лобачевский занялся исследованием той совокупности теорем, которая может быть выведена из системы аксиом, получаемой, если заменить аксиому параллельных евклидовой геометрии противоположным утверждением:

в плоскости через точку А, не принадлежащую прямой l, можно провести более одной прямой, не пересекающейся с l.

Созданная таким образом геометрическая система носит теперь имя неевклидовой геометрии или геометрии Лобачевского.

Независимо от Лобачевского существование такой системы установили Карл Фридрих Гаусс и венгерский математик Янош Бойяи. Однако Гаусс, боясь быть непонятым, не пошел дальше первых шагов в этой геометрии и не опубликовал ни одной строчки о своем открытии. Бойяи опубликовал результаты своих исследований в 1832 году в виде приложения к обширному геометрическому трактату своего отца. Эта работа по достоинству считается одним из замечательных произведений мировой математической литературы, однако и в ней развиты первые понятия новой геометрии. Стоит отметить, что к открытию неевклидовой геометрии был близок немецкий ученый Адольф Тауринус. В 1826 году он даже опубликовал в Кельне небольшую брошюру, содержащую несколько теорем новой геометрии. К сожалению, изложены они были очень сжато маловразумительно. Не встретив ни малейшего признания своих идей Тауринус, по словам одного из своих современников, «впал в меланхолию»: в припадке болезни он сжег оставшиеся у него экземпляры брошюры и никогда более не возвращался к этому предмету.

Лобачевский впервые выступил с публичным изложением своей геометрии 23 февраля 1826 года. В этот день перед учеными физико-математического факультета стоял не просто уважаемый молодой профессор, а творец новой науки. Этот доклад был первым из серии докладов, сделанных им в том же 1826 году и опубликованных в первых номерах только что организованного научного журнала «Казанский вестник» в 1829 году под общим названием «О началах геометрии». В этом сочинении содержа­лось не только полное изложение новой геометрии, но и много­численные применения ее в математическом анализе.

Созданную им новую геометрию Лобачевский назвал «воображаемой», говоря, что если она не существует в природе, то во всяком случае существует в математическом анализе. Почти в полном объеме она была представлена на суд ученых в обширной работе «О началах геометрии». Первая реакция на это сочинение появилась в 1834 году. В журнале «Сын отечества» №47, издававшемся Н.Гречем и Ф.Булгариным, появился отзыв, подписанный литерами С.С. Доподлинно неизвестно, кто скрывался за этими литерами (по мнению крупнейшего знатока жизни и творчества Лобачевского профес­сора В.Ф.Кагака, это были петербургские математики С.Бурачек и С.Зеленый). И по существу, и по форме это был не отзыв, а грубый пасквиль, проникнутый неприкрытым издеватель­ством. Это была не единственная отрицательная реакция. Даже такой крупный математик, как М.В.Остроградский, не скрывал насмешки, отзываясь о воображаемой геометрии.

Лобачевскому было суждено до дна испить горькую чашу непонимания и невежественной критики. Гениальное открытие Лобачевского было настолько революционным, что научная мысль была совершенно не подготовлена к его восприятию. Тяжелы были переживания ученого, на которого обрушилась столь несправедливая критика, но неизмеримо сильнее было его убеждение в правильности своих идей. Твердость духа и уверен­ность в грядущем торжестве его открытия составляли, пожалуй, наиболее характерную черту Ло­бачевского.

В тридцатые годы Лобачевс­кий значительно развивает осно­вы новой геометрии, изложен­ные в его первой работе. Появля­ются новые обширные труды «Воображаемая геометрия» (1835), «Новые начала геомет­рии с полной теорией параллель­ных» (1835—1838). Однако, насколько можно судить, никто этих сочинений в то время не прочитал.

Первое время Лобачевский шёл тем же путём, что и его пред­шественники, т. е. пытался рассуждать от про­тивного. Допустив, что пятый постулат Евкли­да неверен, а остальные аксиомы справедливы, мы рано или поздно придём к противоречию. Этим противоречием он и будет доказан.

Итак, допустим, что пятый постулат неверен через точку А, не принадлежащую прямой b (рис. 1, а), можно провести более чем одну пря­мую, которая не пересекается с b.

Рис.1 а)


Пусть прямые а' и а" не пересекаются с b. При их расположении, как на рисунке, будем поворачивать прямую а' по часовой стрелке. Тогда найдётся прямая с', которая «в последний раз» не пере­секается с b. Значит, прямые, получающиеся из с' при повороте по часовой стрелке (на сколь угодно малый угол), будут пересекать прямую b, а прямые, получающиеся из с при малом повороте в обратном направлении, не будут пересекать b. Иначе говоря, среди всех прямых проходящих через точку А, прямая с' отделяет пересекающие b прямые от не пересекающих её. Сама прямая с' не пересекает b. Такая же картина наблюдается и для прямой с", симметричной с' относительно перпендикуляра AP опущенного на b. Она отделяет пересекающие b прямые от не пересекающих.

Лобачевский называет прямые с' и с" параллельными прямой b, причём с' параллельна вправо, а с" параллельна b влево. Остальные прямые, проходящие через точку А и не пересекающие прямую b (такие, как а' и а" ), именуются расходящимися с прямой b.

Далее, обозначим длину отрезка АР через х, а острый угол, образуемый прямой с' или с" с прямой AP , — через П(х) (рис.1, б).

Рис.1 б)




Лобачев­ский вводит эти определения и обозначения, стремясь, со свойственной ему настойчи­востью, узнать, что может получиться из его предположения о неверности пятого посту­лата, и быстрее обнаружить желанное проти­воречие. На наших чертежах линии изогнуты. Но понять, Лобачевский рассуждает именно о прямых линиях. Если отрезок АР мал, то острый угол П(х) близок к 90°. Когда отрезок АР совсем мал, то, посмотрев «в микроскоп» на точку Р (рис. 2), мы увидим, что прямые с' и с" практически сливаются, поскольку угол П(х) очень близок к 90°. В целом же, в силу предположения о неверности пятого постулата, приходится изображать линии изогнутыми.

Лобачевский доказывает (всё в том же предположении о неверности пятого постулата), что две параллельные прямые неограниченно сближаются друг с другом в сторону параллельности, но в обратном направлении они неограниченно удаляются друг от друга (рис.3,а). А две расходящиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они неограниченно удаляются друг от друга (рис.3,б). Но здесь пока ещё нет никакого противоречия.




Рис.2


Рис.3, а, б


Рис.4


Затем Лобачевский рассматривает две па­раллельные прямые b и с берёт на прямой b движущуюся точку М, удаляющуюся в сторону, обратную параллельности (рис. 4). В каждом положении точки М он восставляет перпенди­куляр p к прямой b до его пересечения с пря­мой с. Длина перпендикуляра непрерывно воз­растает при движении точки М, и, когда она попадает в некоторое положение Q, длина пер­пендикуляра становится бесконечной. Точ­нее говоря, перпендикуляр р, восставленный к прямой b в точке Q, параллелен прямой с (рис.5,а).




Рис.5 а)


Построив прямую с1 симметричную с относительно перпендикуляра р, получим три прямые — b, с и с1 которые попарно па­раллельны друг другу (рис.5,б).




Рис.5 б)


Возникает своеобразный «бесконечный треугольник»: у него каждые две стороны параллельны друг другу, а вершин совсем нет (они как бы нахо­дятся в бесконечности) (рис.6).


Это уже ни­как не согласуется с привычными представле­ниями о расположении прямых линий! Но противоречия и здесь нет.

Тогда Лобачевский предпринимает по­пытку использовать могущество формул. При­меняя введённую им функцию П(х), он полу­чает зависимости, позволяющие по сторонам треугольника вычислять его углы. И оказыва­ется, что в любом треугольнике сумма углов меньше 180°. Значит, в четырёхугольнике Саккери (если его разбить диагональю на два тре­угольника; рис. 7) сумма углов меньше 360°.




Рис.7


Рис.8


Это означает, что мы находимся в условиях гипотезы острого угла — когда в четырёхуголь­нике Саккери четвёртый угол < 90°.




Как будто ничего нового нет: Саккери и его последова­тели долго ломали голову над гипотезой остро­го угла, но противоречия так и не нашли.

Однако Лобачевский оказался теперь на­много богаче: он имел формулы, выражающие зависимости между сторонами и углами любо­го треугольника. Пользуясь своими формулами, Лобачевский доказал: если известны углы тре­угольника, можно однозначно вычислить его стороны. Совсем странно! Ведь существуют подобные треугольники, в которых углы соот­ветственно равны, а стороны неодинаковы, так что углы треугольника не позволяют вычислить длины всех его сторон (рис. 8).

Что это — желанное противоречие? Увы, опять нет! Наличие подобных, но неравных треугольников доказывается с помощью акси­омы о параллельных прямых. А потому сам факт, что такие треугольники существуют, мо­жет рассматриваться как ещё одна новая акси­ома, эквивалентная пятому постулату.

И Лобачевского осенила гениальная догад­ка: противоречия никогда не будет! Иначе говоря, если мы добавляем ко всем прочим аксиомам ещё и пятый постулат, то получается непротиворечивая геометрическая система — та евклидова геометрия, к которой мы так при­выкли. Если же ко всем прочим аксиомам вместо пятого постулата мы добавим отрицание аксиомы параллельности, т. е. аксиому о том, что через точку вне прямой можно провести более одной прямой, параллельной данной, то получим другую геометрическую систему (Лобачевский назвал её «воображаемой» гео­метрией), которая, однако, тоже непротиворечива.

Лобачевский рассмотрел пучок прямых, параллельных друг другу в одном направлении, и его ортогональные траектории, т. е. линии, которые пересекают под прямым углом все прямые данного пучка.

В евклидовой геомет­рии тоже можно рассматривать ортогональ­ные траектории. Например, для пучка концен­трических окружностей это лучи, исходящие из центра, а для пучка параллельных прямых — перпендикулярные им прямые (рис.9).





Рис.9


Но в геометрии Лобачевского помимо прямых и окружностей в качестве ортогональных траек­торий для пучков этих линий появляются но­вые линии — орициклы (или предельные линии; рис.10).




Рис.10


Дальнейшие события были весьма драма­тичны. Лобачевский рассмотрел в пространстве пучок параллельных прямых и поверхности, ортогональные прямым пучка. Такие поверхности — орисферы — обладают замечательными свойствами. Через каждые две точки орисферы проходит орицикл, целиком лежащий на этой поверхности. А потому можно рассматривать треугольники, образованные тремя орициклами на орисфере (рис. 11).1


Рис.11





Оказалось, что в геометрии на орисфере сумма углов любого треугольника равна 180°.

То есть для орициклов на орисфере справед­лив пятый постулат — господствует геометрия Евклида. Другими словами, из материала своей «воображаемой» геометрии Лобачевский сумел построить модель геометрии Евклида. Какая злая ирония судьбы! Если бы всё было наобо­рот! Гениальный учёный понимал: создай он из материала евклидовой геометрии (в непро­тиворечивости которой никто не сомневался) модель собственной «воображаемой» геомет­рии — и законность его геометрической си­стемы установлена. Это сделали математики уже следующего поколения.

Лобачевский выступил с докладом об от­крытии неевклидовой геометрии в 1824 г., но поддержки не нашёл. Он опубликовал о ней ряд статей и книг, причём с её помощью су­мел вычислить несколько интегралов, ранее неизвестных. Но математики его времени ещё не были подготовлены к мысли о возможнос­ти существования иной, неевклидовой геомет­рии. Учёный умер, так и не добившись при­знания своих идей.

Математики следующего поколения (Клейн, Кэли, Пуанкаре и др.) сумели построить модель геометрии Лобачевского из материала геомет­рии Евклида, тем самым установив непротиво­речивость и законность новой геометрии. И математики поняли, что могут быть разные геометрии и разные пространства.

А между тем одну из неевклидовых геометрий ко времени открытия Лобачевского давно знали и хорошо изучили. Речь идёт о сферической геометрии, в которой рассматриваются фигу­ры на сфере и соотношения между ними.

Согласно античной модели мироздания, звёзды и планеты располагаются на нескольких сферах с общим центром, в котором находится Земля. При этом звёзды неподвижны, как бы «прибиты» к своей сфере и вращаются вместе с ней вокруг Земли, а планеты на собственных сферах выписывают замысловатые фигуры — ведь само слово «планета» в переводе с гре­ческого означает «блуждающая». С помощью такой геоцентрической модели древние научи­лись достаточно точно описывать и предсказывать движения планет. Это было необходимо, например, в мореплавании, да и во всех областях «земной» деятельности человека, где надо учи­тывать, что под ногами у нас шар, а не плоский блин на трёх китах. При изучении закономер­ностей вращения небесных светил возникли разнообразные математические задачи, связан­ные со свойствами сферы и фигур, которые об­разуют на ней большие окружности.

Поскольку сфера находится в обычном трёхмерном евклидовом пространстве, тео­ремы сферической геометрии можно пони­мать как обыкновенные стереометрические. Поэтому в сферической геометрии не видели «другую планиметрию», и она не привела к ни­спровержению устоявшихся взглядов подобно геометрии Лобачевского.

^ 4. Геометрия кривых поверхностей.

Многое в геометрии Лобачевского стало яснее, когда учёные хорошо ознакомились с геометрией кривых поверхностей. Чтобы пояснить, в чем тут дело надо рассмотреть геометрию на шаре. Было время, когда люди думали, что земля плоская. Позже, наблюдая за кораблями, уходящими за горизонт, они пришли к выводу о шарообразности земли. Но для этого им пришлось рассматривать предметы (корабли), имеющие определённую высоту, поднимающиеся над поверхностью Земли. Возникает вопрос, нельзя ли убедиться в шарообразности Земли, проводя измерения непосредственно над земной поверхностью и не рассматривая предметов, расположенных над поверхностью Земли.

Конечно, это легко сделать - ведь если двигаться по Земле в одном и том же направлении, то, в конце концов, мы вернёмся на то же место, откуда вышли. Но для такой проверки нужно сделать целое кругосветное путешествие. А нельзя ли убедиться в шарообразности Земли, оставаясь на время на небольшом участке, скажем на острове? оказывается, возможно. Для этого надо измерять геометрические фигуры на поверхности Земли. Возьмем на этой поверхности 2 точки А и В. эти точки можно соединить самыми различными линиями. Не покидая нашего острова. Среди всех линий, соединяющих точки А и В, будет одна, имеющая самую маленькую длину. Мы, знающие, что Земля шарообразная, можем сказать, что эта линия – это дуга большого круга, соединяющая точки А и В. А вот человек, живущий на острове и не знающий о шарообразности Земли, назовет эту линию прямой, соединяющей точки А и В. после этого он возьмёт 3 точки А, В, С и измерит углы треугольника АВС. Если остров очень маленький и точность его инструментов тоже мала, то он получит, что сумма углов этого треугольника равна 180. Совсем другой результат получится, если остров велик или инструменты у жителя этого острова очень точны.

Чтобы понять в чём дело, рассмотрим такие три точки: за точку А выберем Северный полюс, за точку В пересечение экватора с нулевым меридианом и за точку С - пересечение экватора с меридианом, имеющим долготу 90.если вы возьмёте эти 3 точки на глобусе, то сразу увидите, что все 3 угла треугольника АВС равны 90. Но ведь тогда сумма всех углов этого треугольника равна 270. Можно доказать, что у любого треугольника на поверхности шара сумма углов больше, чем 180, и этот избыток тем больше, чем больше площадь треугольника (потому-то для маленьких треугольников сумма углов равна почти 180).

Таким образом, точно измеряя углы большого треугольника, можно убедиться, что мы живём не на плоскости, а на искривлённой поверхности. С помощью ещё более точных измерений можно получить представление и о форме поверхности.

Измерения, проведённые на шаре, можно проводить на любой другой поверхности. На любой поверхности есть линии, соединяющие 2 точки и имеющие меньшую длину, чем все остальные линии, соединяющие эти точки. Такие линии называют геодезическими. Измеряя углы треугольников, образованных геодезическими линиями, можно судить о степени искривлённости поверхности. У некоторых кривых поверхностей (таких, как шар, эллипсоид) эта сумма получается больше 180. У других, например у седла,- больше 180. А есть поверхности, у которых в некоторых местах получается больше180, а в других - меньше180, тем сильнее искривлен измеряемый треугольник. Есть такая поверхность (её называют псевдосферой), на которой геодезические линии ведут себя так же, как прямые на плоскости Лобачевского.

Известный немецкий ученый Б.Риман ввёл очень важное понятие, показав, что можно рассматривать не только искривлённые поверхности, но и искривленные пространства. Искривленное пространство очень трудно себе представить - ведь когда мы говорим о кривой поверхности, то представляем себе эту поверхность лежащей на каком-то пространстве. А где же лежит кривое пространство? Дело в том, что в искривленности поверхности можно убедиться, не выходя за её пределы, а измеряя углы в треугольниках на этой поверхности. Точно так же пространство следует считать искривлённым, если сумма углов треугольника, взятом в этом пространстве, отличается от 180.


Заключение


Открытие неевклидовой геометрии доказало, что нельзя абсолютировать представления о пространстве, что «употребительная» (как назвал Лобачевский геометрию Евклида) геометрия не является единственно возможной, однако это не подорвало незыблемость геометрии Евклида. Итак, в основе геометрии Евклида лежат не априорные, врожденные уму понятия и аксиомы, а такие понятия, которые связаны с деятельностью человека, с человеческой практикой. Только практика может решить вопрос о том, какая геометрия вернее излагает свойства физического пространства. На основе идей Лобачевского выросла вся современная геометрия, играющая ключевую роль как в математике, так и вообще в точном естествознании. Имя творца этой новой геометрической системы — великого русского математика Никол Ивановича Лобачевского — по праву занимает одно из первых мест в истории мировой науки.1

Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и поныне способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира.

Сейчас приоритет Лобачевского в создании неевклидовой геометрии признается во всем мире. Английский математик Клиффорд назвал его «Коперником геометрии». Так же, как Коперник разрушил казавшую незыблемой догму о неподвижной земле, Лобачевский первый подверг сомнению наши обыденные представления о свойства окружающего нас пространства.


Список использованной литературы



  1. Лаптев Б.Л. Н.И. Лобачевский и его геометрия. Пособие для учащихся. М. «Просвещение», 1970г.

  2. Математика. Энциклопедия для детей. «Аванта+»,1998

  3. Соловьев Ю.П. Избранные статьи. М. «Бюро Квантум», 2004.

4. 100 Великих россиян. М. «Вече». 2001.

5. Энциклопедический словарь юного математика. М. 1985.

6. Русские ученые и изобретатели. М. «Росмэн», 2004.


1 Энциклопедия для детей. «Аванта+», 1998. С. 424.

2 Б.Л. Лаптев. Н.И. Лобачевский и его геометрия. Пособие для учащихся. М. «Просвещение», 1970. С. 67.

1 Биографический словарь деятелей в области математики. Киев, 1979. С.316.

1 Русские ученые и изобретатели. М. «Росмэн», 2004. С.126.

1 Соловьев Ю.П. Николай Иванович Лобачевский //Квант. Избранные статьи. М.2004. С.65.

1 Энциклопедический словарь юного математика. М. 1985. С. 164.

1 100 Великих россиян. М. «Вече». 2001. С. 266.