Элективный курс для 11 класса Преподаватель математики школы №853

Содержание
Основные цели курса
Задачи курса
Предполагаемый результат
Формы работы и итоговый контроль
Учебно-тематическое планирование
Количество часов
Подобный материал:

Основания геометрии


Элективный курс для 11 класса


Преподаватель математики школы № 853

Белов А.И.


Предлагаемый курс предназначен для учащихся 11-ых классов, однако может быть использован и для 10-го класса, а отдельные элементы курса могут быть включены и в материал для учащихся 8-9-ых классов.

Изучению геометрии в школе всегда придавалось особое значение, так как, по существу – это единственная «формальная» наука, изучаема в школе. Однако, в последние годы наметилась тенденция к вытеснению предмета геометрии из школьной программы – сокращение часов, включение в единый государственный экзамен по математике всего 3 задач по геометрии (при этом ни одна из этих задач не входит в школьную оценку) и т.д. В данном курсе особое внимание уделено построению науки как таковой - основные неопределяемые понятия, основные утверждения, не требующие доказательств, основные утверждения, требующие доказательства.

В курсе достаточно подробно рассматривается система аксиом, особое внимание уделяется аксиоме параллельных. Кроме этого включены вопросы истории математики – начиная с «Начал» Евклида и заканчивая программой Гильберта.


^ Основные цели курса

Обучающая

расширение кругозора, формирование представлений о формальном построении науки, умение работать с отвлеченными абстрактными понятиями, повышение мотивации к изучению предмета.

Развивающая

развитие представления об окружающем мире, представление о геометрии как об одном из возможных способов описания плоскости и пространства.

Воспитывающая

осознание места геометрии среди других наук, развитие представления об историческом пути геометрии как науки, обогащение словарного запаса, развитие творческих способностей, развитие умения выделять главное, сравнивать, обобщать изученные факты.


^ Задачи курса

Показать, что развитие геометрии явилось результатом взаимодействия со смежными науками, а также практической необходимостью.

- Ознакомить с основными направлениями развития геометрии.

- Ознакомить с особенностями построения геометрии как формальной (аксиоматической) науки

- Научить строить формальные геометрические модели

- Научить применять полученные знания в рамках данных моделей;

- Способствовать развитию речи и дикции школьников.

- Дать представление о роли геометрии для развития представления об окружающем мире;


^ Предполагаемый результат

В конце изучения данного курса учащиеся должны

- уметь характеризовать основные направления исторического развития геометрии как науки;

- знать группы аксиом и основные теоремы абсолютной геометрии;

- представлять структуру построения геометрии как формальной науки;

- уметь строить формальные модели;

- уметь решать треугольники в любой из трёх рассмотренных геометрий;

- уметь отбирать материал из информационных источников для подготовки сообщений, кратко и четко излагать информацию;


^ Формы работы и итоговый контроль

Содержание элективного курса предполагает разнообразные виды и формы деятельности:

Лекции, беседы, сообщения учащихся, демонстрационные опыты, просмотр обучающих программ. Каждое занятие включает в себя познавательную часть, содержащую сведения из истории геометрии, что способствует развитию и укреплению межпредметных связей, осознанию места геометрии среди наук. Самостоятельная работа предусматривает возможность учащихся пройти тем же путем, что и великие математики прошлого.

Итоговое занятие представляет собой беседу-зачёт по теме «Основания геометрии».


^ Учебно-тематическое планирование



Содержание


( I – раздел программы;

1 – тема урока)


^ Количество часов

Лекции


Количество часов

Семинары

I

Основания геометрии

9

15

1

Системы аксиом. Аксиомы принадлежности.

1

2

2

Аксиомы порядка. Аксиома Паша.

1

2

3

Теоремы о разбиениях.

1

2

4

Аксиомы конгруэнтности.

1

1

5

Признаки конгруэнтности треугольников.

1

2

6

Теорема о внешнем угле

1

2

7

Аксиомы непрерывности.

1

2

8

Измерение отрезков и углов.

1

1

9

Аксиома параллельных.

1

1

II

Сферическая геометрия

6

8

10

Многогранные углы. Трёхгранные углы.

1

1

11

Признаки равенства трёхгранных углов.

1

1

12

Связь трёхгранных углов и сферических треугольников.

1

1

13

Теорема синусов для трёхгранных углов.

1

1

14

Теорема косинусов для трёхгранных углов.

1

2

15

Площадь сферического двуугольника. Площадь сферического треугольника.

1

2

III

Геометрия Лобачевского

8

9

16

Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского.

1

1

17

Расстояние между точками на плоскости Лобачевского.

1

1

18

Выражение стороны треугольника через его углы

1

1

19

Теоремы синусов и косинусов в геометрии Лобачевского.

1

2

20

Угол параллельности.

1

1

21

Площадь треугольника и многоугольника на плоскости Лобачевского.

1

2

22

Связь трёх геометрий.

1

1

23

Итоговое занятие

-

1




ИТОГО

23

32

56


Краткое содержание элективного курса


  1. Системы аксиом. Аксиомы принадлежности.

Понятие о геометрии, как о науке. «Начала» Евклида. Основные неопределяемые понятия. Системы аксиом. Требования к системе аксиом. Группы аксиом. Аксиомы принадлежности (инцедентности). Независимость аксиом. Модели.

  1. Аксиомы порядка. Аксиома Паша.

Расположение трёх точек на прямой. Аксиомы порядка. Особая роль аксиомы Паша. Отрезок.

  1. Теоремы о разбиениях.

Понятие о классах эквивалентности. Теорема о разбиении прямой лежащей на ней точкой. Теорема о разбиении плоскости лежащей на ней прямой. Луч. Угол.

  1. Аксиомы конгруэнтности.

Отношение конгруэнтности (равенства) для отрезков и углов. Прямой угол. Существование и единственность середины отрезка.

  1. Признаки конгруэнтности треугольников.

Определение треугольника. Первый признак конгруэнтности треугольников. Второй признак конгруэнтности треугольников. Признак конгруэнтности треугольников по стороне и двум углам, один из которых противолежащий. Возможность равенства треугольников по двум сторонам и углу не между ними.

  1. Теорема о внешнем угле.

Внешний угол треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника. Перпендикуляр. Третий признак конгруэнтности треугольников. Равнобедренный треугольник и его свойства. Соотношения между сторонами и углами в треугольнике (против большей стороны лежит больший угол, против большего угла лежит большая сторона)

  1. Аксиомы непрерывности.

Аксиомы непрерывности и их значение. Аксиома Архимеда. Аксиома Кантора. Теорема о сумме углов треугольника (не превосходит удвоенного прямого угла).

  1. Измерение отрезков и углов.

Длина отрезка. Измерение отрезков. Измерение углов. Градусная мера.

  1. Аксиома параллельных.

Параллельные прямые. Существование прямой, параллельной данной, проходящей через данную точку. Пятый постулат Евклида. История вопроса. Аксиома параллельных Евклида. Теорема о сумме углов треугольника в геометрии Евклида.

  1. Многогранные углы. Трёхгранные углы.

Двугранные углы. Трёхгранные углы. Многогранные углы. Плоские и двугранные углы многогранного угла. Теорема о сумме плоских углов многогранного угла.

  1. Признаки равенства трёхгранных углов.

Первый, второй и третий признаки равенства трёхгранных углов. Сопряжённый трёхгранный угол. Четвертый признак равенства трёхгранных углов.

  1. Связь трёхгранных углов и сферических треугольников.

Сфера. Сферические треугольники. Соответствие между трёхгранными углами и сферическими треугольниками.

  1. Теорема синусов для трёхгранных углов.

Теорема синусов для трёхгранных углов (сферических треугольников)

  1. Теорема косинусов для трёхгранных углов.

Теорема косинусов для трёхгранных углов (сферических треугольников)

  1. Площадь сферического двуугольника. Площадь сферического треугольника.

Сферический двуугольник. Площадь сферического двуугольника. Площадь сферического треугольника. Сумма углов сферического треугольника.

  1. Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского.

Аксиома параллельных Лобачевского. История вопроса. Попытки построить неевклидову геометрию Лобачевского, Боайяи, Гаусса. Существование трех точек, не лежащих ни на одной прямой, ни на одной окружности. Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского в верхней полуплоскости. Выполнение аксиом принадлежности, порядка, параллельных.

  1. Расстояние между точками на плоскости Лобачевского.

Расстояние между точками в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского в верхней полуплоскости. Движение в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского. Выполнение аксиом конгруэнтности в модели Пуанкаре.

  1. Выражение стороны треугольника через его углы.

Выражение стороны треугольника через его углы в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского.

  1. Теоремы синусов и косинусов в геометрии Лобачевского.

Теорема синусов в геометрии Лобачевского. Теорема косинусов в геометрии Лобачевского. Теорема Пифагора в геометрии Лобачевского.

  1. Угол параллельности.

Угол параллельности. Сходящиеся прямые. Три типа пучков прямых в геометрии Лобачевского.

  1. Площадь треугольника и многоугольника на плоскости Лобачевского.

Равносоставленность. Дефект треугольника. Площадь треугольника в геометрии Лобачевского.

  1. Связь трёх геометрий.

Связь геометрии Евклида, сферической геометрии и геометрии Лобачевского. Внутренняя геометрия поверхности.


Формы учебных занятий

Лекция, семинар, практические занятия расчётные и экспериментальные, просмотр.

Образовательные ресурсы к курсу

Литература

  1. Геометрия 8-9. А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Москва, «Просвещение», 1991.

  2. Геометрия 10-11. А.Д. александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Москва, «Просвещение», 1991.

  3. Геометрия 11. Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич. Москва, «Дрофа», 2004

  4. Геометрия 11. Задачник. Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич. Москва, «Дрофа», 2004.

  5. Н.И. Лобачевский и его геометрия. Б.Л. Лаптев. Москва, «Просвещение», 1976.

  6. Рассказы о физиках и математиках. С.Г. Гиндикин. Москва, МЦНМО, 2001.

  7. Геометрия Лобачевского. Л.С. Атанасян. Москва, «Просвещение», 2001.

  8. Геометрия Лобачевского. ВВ. Прасолов. Москва, МЦНМО, 2004.

Мультимедийные программы

  1. Планиметрия 1. Москва, ООО «Видеостудия «Кварт», 2006.

  2. Планиметрия 2. Москва, ООО «Видеостудия «Кварт», 2006.

  3. Стереометрия 1. Москва, ООО «Видеостудия «Кварт», 2006.

  4. Стереометрия 2. Москва, ООО «Видеостудия «Кварт», 2006.