Базовая учебная программа дисциплины «Основания геометрии» для студентов специальности 1-31 03 01 «Математика» Минск

Содержание
Пояснительная записка
"Основания геометрии"
Содержание курса
Подобный материал:

Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский государственный университет

Механико-математический факультет

Кафедра геометрии, топологии и методики преподавания математики


УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

профессор В.В. Самохвал

________________________

Рег.№ __________________

«____» ______________ 2007 г.


Базовая учебная программа дисциплины


«Основания геометрии»

для студентов специальности 1-31 03 01 «Математика»


Минск

2007


Авторы:

доцент кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики, кандидат физ.-мат. наук А.А. Бурдун,

доцент кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики, кандидат физ.-мат. наук С.Г. Кононов.


Рецензент:

доцент кафедры высшей алгебры, кандидат физ.-мат. наук А.А. Шаромет


Одобрена на заседании кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики

протокол № 12 от 20 июня 2007 г.


Одобрена на заседании Ученого совета

механико-математического факультета

протокол № 7 от 20 июня 2007 г.


Ответственный за выпуск:

доцент кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики, кандидат физ.-мат. наук С.Г. Кононов.


^ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Курс оснований геометрии читается для студентов-математиков, специализирующихся по методике преподавания математики. Основными целями курса оснований геометрии являются:

  • изложение основных этапов развития геометрии и обсуждение влияния эволюции
    геометрических идей на математику в целом;

  • изучение аксиоматического метода в математике на примере аксиоматики геометрии;

  • знакомство с основными положениями неевклидовой геометрии, в частности,
    Геометрии Лобачевского;

  • обсуждение связи оснований геометрии с другими науками и методикой преподавания
    математики.

^ "ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ"

Цель курса "Основания геометрии": дать ясное и глубокое понимание значения аксиоматического метода в математике на примере сравнительного изучения геометрий Евклида и Лобачевского.

Тематический план курса "Основания геометрии"



темы

Количество часов

^ Содержание курса

Лекции

Историческое введение

2

Евклид и его Начала

2

История 5-го постулата Евклида

2

Аксиоматика Гильберта

5

Абсолютная геометрия

4

Геометрия Лобачевского и ее аксиоматика

4

Модель Пуанкаре планиметрии Лобачевского

5

Простейшие задачи построения модели Пуанкаре

6

Элементы проективной геометрии

4

Всего аудиторных часов

34

ИТОГО:

34







Введение

Роль оснований геометрии в развитии аксиоматического метода построения математической теории. Взаимосвязь геометрии и естественных наук (физики, механики, астрономии, космологии). Основания геометрии в школьной математике.

Исторический обзор исследований по основаниям геометрии

«Начала» Евклида. Проблема пятого постулата. Открытие Н.И.Лобачевским неевклидовой геометрии. Работы по основаниям геометрии во второй половине XIX века и формирование понятия геометрического пространства.

Аксиоматики элементарной геометрии

Аксиоматический метод построения теории. Аксиоматика Гильберта элементарной геометрии. Аксиомы связи и следствия из них. Аксиомы порядка и следствия из аксиом связи и аксиом порядка. Аксиомы конгруэнтности и их следствия. Аксиомы непрерывности. Абсолютная геометрия. Аксиома параллельности в евклидовой геометрии и в геометрии Лобачевского. Другие аксиоматики элементарной геометрии. Аксиоматика Вейля евклидовой геометрии.

Основные факты геометрии Лобачевского

Плоскость Лобачевского как поверхность с римановой метрикой. Понятия параллельных и расходящихся прямых. Функция Лобачевского. Группа движений плоскости Лобачевского и ее однопараметрические подгруппы. Эквидистанта и орицикл. Основные метрические соотношения в геометрии Лобачевского. Геометрия прямых и плоскостей в трехмерном пространстве Лобачевского.

Общие вопросы аксиоматики

Неопределяемые и определяемые объекты и отношения. Аксиомы и теоремы. Проблемы непротиворечивости, минимальности и полноты аксиоматической теории. Арифметическая модель евклидовой геометрии.

Неевклидовы геометрии

Псевдоевклидовы векторные и точечные пространства. Пространство Минковского. Группа псевдоортогональных преобразований. Связь с теорией относительности. Аксиоматика проективной плоскости. Теорема Дезарга. Группы преобразований в геометрии. Эрлангенская программа Клейна.


ЛИТЕРАТУРА Основная

  1. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. Москва. «Наука», 1978г.

  2. Мищенко А.С. Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. Изд-во
    МГУ, 1980г.

  3. Погорелов А.В. Геометрия. Москва. «Наука», 1984г.

Дополнительная литература

  1. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М. «Наука», 1981г.

  2. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М. «Наука», 1989г.

  3. Лобачевский Н.И. Избранные труды по геометрии. М. Изд-во АН СССР, 1956г.

  4. Розенфельд Б.А. История неевклидовой геометрии. М. «Наука», 1976г.